Vector Dimension 벡터와 차원 [빅공남 통계 같이 공부해요]

빅데이터 분석기사 차원축소 주제를 공부하다보면 PCA(주성분 분석) 기법이 등장합니다. 차원축소를 공부하려면 먼저 차원이 무엇인가? 이해해야하고 차원을 이해하려면 벡터(Vector) 공간에 대한 개념을 이해하고 있으면 도움이 됩니다. 오늘 포스팅에서는 차원축소 개념에 대해서 정리를 해보고자 합니다. 아래 빅분기 2과목 목차에서 차원축소에 관한 소주제를 찾아 볼 수 있습니다.

 

1. 좌표평면(2차원) Grid?

먼저 벡터의 개념을 표현하기 앞서 2차원에서 좌표계 그림을 시각화 해보았습니다. 중고등학교 때 2차원 좌표계는 수직이되는 x축, y축으로 배우고 익숙할 것입니다. 하지만 위의 그림을 보면 좌표축이 꼭 수직일 필요가 있을까? 라는 질문에서부터 벡터의 개념과 기저(Basis)개념 그리고 좌표(Grid) 개념이 필요하게 됩니다. 위의 오른쪽 그림을 보면 평면의 모든 점들을 평행사변형 좌표로도 나타낼 수가 있습니다. 그래서 오늘의 주제는 기준이 되는 벡터를 바꿔 가면서 좌표로 나타낼 수 있다는 내용이 주된 설명이 됩니다.

 

 

 

 

2. 벡터? 스칼라?

 

위의 그림을 보면 양쪽에서 사람들이 줄다리기를 하고 있습니다. 힘은 양쪽으로 2가지가 존재합니다. 왼쪽으로 당기는 힘과 오른쪽으로 당기는 힘입니다. 서로 힘이 같아서 팽팽해서 움직임이 없을 는 경우 두 힘을 합치면 0이라고 생각할 수 있습니다. 결론부터 말씀드리면 이는 상쇄가 되어서 0벡터(Zero Vector) 라는 표현을 쓰게 됩니다.

동시에 힘을 밀고 있는 경우도 같습니다. 서로 반대 방향으로 밀고 있어서 움직임이 없다면 두힘을 합칠 경우 0 벡터 (zero-vector)가 나오게 됩니다. 이처럼 방향과 크기를 가지는 값을 벡터라고 하는데 두가지 개념이 등장하게 됩니다.

벡터를 이해하려면 먼저 2가지 단어에 익숙해져야 합니다.

 

1) 스칼라 : 크기를 측정하는 값

2) 벡터 : 방향과 크기를 동시에 나타내는 지표

 

단순한 직선의 길이를 구하는 것은 스칼라를 측정하는 것입니다. 그런데 위의 그림처럼 크기에 방향이 추가가 되면 벡터(Vector)라고 합니다. 힘을 준다는 것은 벡터로 이해할 수 있고 방향이 존재하게 되는 것입니다.

 

3. 벡터의 합성, 벡터의 스칼라곱(상수배)

 

다음 그림처럼 벡터의 합성을 캐리어를 끌고 상황을 보겠습니다. 손잡이를 잡고 대각선으로 물체에 힘을 주고 있습니다. 그런데 이 힘은 그림처럼 수직으로 힘을 분해할 수 있습니다. 즉 위로 당기는 힘과 오른쪽 당기는 힘으로 분리해서 생각을 할 수 있습니다. 여기서 벡터의 합성이라는 개념이 등장합니다. 힘의 요인을 분해해서 보면 분석에 용이해집니다.

다음 그림처럼 좌표평면에서 벡터를 합친다 ( 2개의 힘을 합성한다? ) 라는 개념은 평핸사변형을 그려서 두 힘의 합성된 힘을 다시 벡터(Vector)로 표현하는 것입니다. 기호로는 그냥 두 힘을 더한타 라고 표현할 수 있습니다. 그런데 크기와 방향이 나타내는 벡터는 좌표계(x축,y축)에 원점을 기준으로 표현할 수 있습니다.

 

위의 그림처럼 방향과 크기가 있는 벡터를 좌표축의 원점에다가 옮기면 (x좌표,y좌표)로 나타낼 수 있습니다. 평면위의 모든 힘들(벡터)는 원점을 기준으로 좌표로 나타내면 모든 힘은 좌표로 써지는 것입니다. 그럼 벡터의 합성(즉 벡터의 합)은 좌표로 다음 그림으로 이해할 수 있습니다.

벡터를 좌표로 2개를 각각 표현하면 (a1,a2), (b1,b2)로 표현이 가능합니다. 힘을 더해서 즉, 합성해서 새로운 벡터가 나오면 다시 이 합성한 벡터도 좌표로 표현이 가능합니다. 평행사변형을 그려서 찾아낸 벡터(Vector)를 좌표로 나타낸다면 (a1+b1, a2+b2)로 표현이 가능해집니다. 그래서 벡터 a를 (a1,a2)로 벡터 b를 (b1,b2)로 표현하고 a+b 를 한다는 개념은 힘을 합쳐서 (a1+b1,a2+b2) 화살표를 가르키는 힘이 됩니다. 즉 처음에는 힘을 나타내는 벡터가 좌표들의 연산으로 표현된 다는 것이 중요한 관점입니다.

이번에는 벡터의 상수배 (k배) 를 한다는 개념은 방향을 보존한 상태에서 크기를 k배 만큼 늘려주고 줄여주는 것을 의미합니다. 만약 a벡터를 좌표로 나타내서 (a1,a2)로 쓴다면 상수배 (k배)의 벡터는 k(a1,a2)에서 (ka1,ka2)로 표현 가능합니다. 만약 k가 음수라면 방향을 바꿔주면서 크기를 늘리고 줄이고로 이해할 수 있습니다. 그래서 벡터에 상수를 곱한다는 개념은 크기를 늘리고 줄이면서 반대방향으로 가는 것을 의미합니다.

 

4. 차원과 기준벡터(basis)?

 

차원이란 좌표로 표현하기 위한 기준벡터의 개수라고 이해할 수 있습니다. 그러면 먼저 기준벡터가 무엇인지? 그리고 기준벡터로 좌표로 표현된다는 것이 어떤 의미인지 정리해보고자 합니다.

1차원이라함은 방향에 좌우 밖에 없는 좌표계를 말합니다. 위의 그림에서 수직선이 1개가 있고 각 좌표는 숫자 1개로 표현이 됩니다. 여기서 기준이 되는 벡터를 오른쪽 방향 1칸으로 정의합니다. 그러면 모든 좌표들은 이 벡터로 표현 가능합니다. 예를 들어, 좌표3이라는 것은 오른쪽으로 3칸 갔으니까 3이되는 것으로 이해할 수 있습니다. 좌표 -2라는 것은 이 기준벡터의 반대방향으로 2칸 갔다고 이해를 하면 좌표가 -2가 되는 것입니다.

그러면 이번에는 오른쪽으로 2칸인 벡터를 기준벡터로 생각합니다. 4에 해당하는 좌표는 2로 이해할 수 있습니다. 기준벡터에서 2칸 늘렸다고 생각할 수 있기 떄문입니다. 그러면 -1에 해당하는 숫자는 좌표로 다시 나타내면 -0.5라고 나타낼 수 있습니다. 그 이유는 왼쪽으로 0.5칸 갔기 때문입니다. 그래서 길이가 2인 오른쪽 방향을 기준벡터로 잡는다면 다시 좌표는 아래 그림처럼 나타낼 수 있습니다.

위의 그림에서 알 수 있는 것은 결국 기준벡터를 하나 잡게 되면 모든 점들은 이 하나의 벡터로 표현이 됩니다. 즉 스칼라곱(상수배)를 하게 되면 늘렸다 줄였다 그리고 방향을 반대 방향으로 바꿀 수 있기 떄문에 이 상수(스칼라곱) 숫자가 좌표가 되는 것입니다.

이번에는 수직선이 아니라 좌표평면에서 생각을 해보도록 하겠습니다.

 

이번에는 좌표축이 2개인 경우 즉 평면에서 벡터를 생각해 보겠습니다. 우리가 중고등학교에서 익숙해졌던 좌표평면은 바로 수직인 경우입니다. 그런데 위의 그림처럼 수직이 아닌 좌표평면도 생각해 볼 수 있습니다.

위의 그림처럼 수직인 좌표계에서 왼쪽, 위쪽으로 수직으로 2개의 기준벡터를 잡습니다. 그러면 점들을 이 2개의 베터로 각각 몇칸 갔는지와 합성을 해주면 좌표로 표현할 수 있습니다. 그림에서는 오른쪽 3칸, 위로 1칸이라서(3,1)로 표현을 할 수 있습니다. 그런데 위의 오른쪽 그림처럼 평행사변형을 그려서 두 벡터를 합성하면 마찬가지로 좌표로 표현가능 합니다. 둘다 (3,1)로 표현가능한 것입니다. 평면위의 점을 어떤 기준벡터들로 표현하는가?에 따라 좌표 숫자가 바뀔 수 있으나 일관된 기준으로 기준벡터에서 모든 점들은 하나의 좌표를 가지게 되는 것입니다. 

벡터의 합성(더하고), 스칼라곱(늘리고 줄이고 방향바꾸고) 를 이용하면 모든 점들은 다음과 같이 표현해낼 수 있습니다. 아래 그림처럼 시각화를 해서 이해해볼 수 있습니다.

 

3차원 공간도 다음 그림처럼 3개의 기준벡터를 잡아주면 (x,y,z)의 좌표계로 나타낼 수 있습니다.

기준벡터 각 좌표축에서 몇칸을 움직였는지로 나타내면 좌표로 표현되는 것입니다. 위의 오른쪾 그림처럼 항상 좌표축이 수직일 필요는 없습니다. 수직이 아니더라도 평행사변형의 입체도형을 떠올려서 좌표로 나타내고 점이 표현 된느 것입니다.

 

5. 차원과 기저(Basis)

결국 차원이란 기준벡터의 개수를 나타내고 우리가 살고 있는 공간은 3차원 공간입니다. 좌표축 3개로 표현할 수 있기 때문입니다. 그런데 빅데이터 분석을 하려면 복잡한 세계가 많고 요인이 여러가지가 존재하게 됩니다. 이는 n차원 구조가 되고 좌표도 (x1,x2,x3, ... xn)이런식으로 나타나지게 됩니다. 어떤 결과에 영향을 주는 변수가 n개라는 것의 의미가 기준 벡터가 n개가 있고 이 기준벡터의 몇배?(스칼라곱)으로 이해한다면 좌표가 된다는 것을 직관적으로 이해할 수 있을 것입니다.