Vector Linear Combination 선형대수 선형결합 일차결합 [빅공남! 통계 같이 공부해요]

Vector Linear Combination 선형결합 일차결합 개념은 차원을 이해하기 위한 중요한 개념중에 하나입니다. 선형대수(Linear Algebra)에 등장하는 Linear Combination 개념을 오늘 포스팅 주제로 선정했습니다. 데이터 분석에서 차원 축소 개념 기법중 PCA 기법 등을 이해하기 앞서, Linear Combinatio으로 만들수 있는 Vector Space에 대해서 공부하면 도움이 되겠다는 생각을 하게 되었습니다. 오늘 공부와 관련된 유튜브 영상 링크는 포스팅 맨 아래 첨부하겠습니다.

차원을 축소한다는 개념은 어떻게 이해할 수 있을까오? 오늘은 벡터 관점에서 먼저 선형결합(Linear Combination)을 시각적으로 2차원, 3차원해서 이해해보고자 합니다. 아래 그림과 같이 3차원 공간에서 선형결합으로 공간을 이해하고자 합니다.

 

1. 벡터(Vector)의 선형결합(Linear Combination)이란?

벡터(Vector)의 선형결합(Linear Combination)은 2가지 벡터 연산으로 이루어져 있습니다. 바로 벡터의 덧셈(합성)과 벡터의 상수배(스칼라곱) 2가지입니다. 아래 그림을 보면서 벡터의 선형결합을 설명하는 2가지 개념을 쉽게 이해할 수 있습니다.

위의 그림은 2차원에서 이해하기 쉽게 그림으로 시각화 했습니다. 

 

1) Vetor의 덧셈 : 두벡터의 덧셈은 각각의 좌표를 덧셈한 것으로 이해할 수 있습니다. 그림에서는 두 화살표의 출발점을 동일시 하고, 평행사변형을 그려서 새로운 벡터의 좌표를 찾아낼 수 있습니다.

 

2) Vector의 상수배(스칼라곱) : 방향이 정해진 벡터를 k배만큼 늘이고 줄이는 것을 의미합니다. 이떄 k가 음수(-)일 경우는 반대 방향으로 늘리고 줄이는 것을 의미합니다.

 

벡터의 덧셈과 상수배 2가지로 벡터를 합성하는 것을 선형결합(Linear Combination)이라고 하고 어떤 공간을 만들게 됩니다. 그래서 먼저 2차원에서 예제를 통해서 알아보겠습니다.

 

2. 2차원 공간 벡터 선형결합 Example (1)

다음 그림과 같이 두 벡터 (1,0)과 (0,1)을 C1, C2만큼 각각 곱해서 합성한 벡터를 생각합니다. 아래와 같은 경우 (1,0)벡터와 (0,1)을 선형결합을 한 것입니다.

자, 이제 2차원 좌표평면에서 시각화를 통해서 쉽게 이해하도록 하겠습니다.

x축, y축에 있는 각각의 벡터 (1,0)과 (0,1) 벡터를 C1, C2배만큼 늘려서 새로운 벡터를 만들어 내고 있습니다. 이렇게 두벡터의 길이를 늘리거나 방향을 바꾸어서 새로운 벡터를 만들면 Linear Combination으로 생성한 벡터가 되는 것입니다. 임의숫자 C1,C2를 바꿔가면서 벡터(화살표) 즉 좌표를 만들면 2차원 공간의 모든 점들을 만들어 낼 수 있습니다.

3. 2차원 공간 벡터 선형결합 Example (2)

다음 그림과 같이 두 벡터 (3,1)과 (1,1)을 C1, C2만큼 각각 곱해서 합성한 벡터를 생각합니다. 아래와 같은 경우 (3,1)벡터와 (1,1)을 선형결합을 한 것입니다.

x축, y축에 있는 각각의 벡터 (3,1)과 (1,1) 벡터를 C1, C2배만큼 늘려서 새로운 벡터를 만들어 내고 있습니다. 이렇게 두벡터의 길이를 늘리거나 방향을 바꾸어서 새로운 벡터를 만들면 Linear Combination으로 생성한 벡터가 되는 것입니다. 임의숫자 C1,C2를 바꿔가면서 벡터(화살표) 즉 좌표를 만들면 2차원 공간의 모든 점들을 만들어 낼 수 있습니다.

 

4. 2차원 선형결합(Linear Combination) Example1,2를 보며....

아래 그림에서 평행하지 않은 두 벡터의 1차 결합은 결국 두 벡터의 방향으로 눈금(Grid), 즉 칸을 만들고 C1,C2 상수배는 눈금(Grid)에서의 각각 벡터 방향으로 몇칸 움직였는지를 나타내기 때문에 좌표에 해당합니다. 그래서 아래 첫번쨰 그림은 직교좌표계로 우리가 익숙한 눈금(Grid)입니다.

아래와 같이 두번째 그림은 평행사변형 모양의 좌표계입니다. 여기서 마찬가지로 C1, C2는 결국 눈금(Grid) 에서의 좌표가 되는 것입니다.

 

5. 3차원 공간에서 두 벡터(Vector)의 선형결합(Linear Combination)

파이썬 코딩을 통해서 먼저 두 벡터 (1,0,1)과 (0,1,1)을 그려보았습니다.

이번에는 3차원 공간에서 두벡터의 선형결합을 하면 어떤 공간(Space)가 나오는지 알아보겠습니다. 3차원 공간에서 두벡터(1,0,1)과 (0,1,1)벡터의 선형결합을 살펴보고자 합니다.

두 벡터를 각각 C1배만큼, C2배만큼 늘이고 줄이고 합성(평행사변형) 모양으로 벡터를 합성하면 다음과 같이 그림을 만들어 낼 수 있습니다.

 

위의 그림은 직접 파이썬 코딩을 통해서 a벡터와 b벡터를 늘려가면서 그림을 그려본 것입니다. 위의 그림처럼 2개의 벡터로 2차원 구조의 평면이 만들어지는 것을 알 수 있습니다. 그 이유는 3차원 공간에서 2개의 벡터로 선형결합(Linear Combination)을 했기 때문에 2개의 방향으로는 평면만 만들 수 있는 것입니다.

 

그래서 3차원 공간이지만 기준벡터를 (1,0,1)과 (0,1,1)로 둔다면 이 두 벡터로 인한 좌표라고도 이해할 수 있습니다. C1, C2는 두 벡터로 만들 수 있는 공간(평면)의 눈금(Grid)상에서의 좌표로 볼 수 있습니다.

 

여기서 공간을 만드는 벡터는 2개이고, 이때 만들어진 공간은 평면(Plane)이 된는 것을 알 수 있습니다. 이때 만들어진 공간을 span(벡터1,벡터2)로 쓸 수 있고 이때 벡터를 기저(basis)라는 표현을 쓰게 됩니다.

 

5. 정리하며...

오늘 포스팅에서는 2차원, 3차원의 예를 들면서 벡터의 선형결합(Linear Combination)에 대해서 알아보았습니다. 벡터의 합성(덧셈)과 스칼라곱(상수배)를 이용하면 주어진 벡터들로 부분공간(Sub Space)를 만들어 나갈 수 있습니다. 좌표가 4개이상인 경우에도 만약 평행하지 않은 두 벡터의 선형결합(Linear Combination) 공간을 만든다면 마찬가지로 2차원 평면(Plane) 구조가 나오게 됩니다. 다음 포스팅에서는 벡터의 독립과 종속에 대해서 알아보고자 합니다.

 

https://youtu.be/ie-_pfIHx5s